2020考研數(shù)學(xué)：兩角和差公式總結(jié)篇
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兩角和差公式：
1、兩角和與差的三角函數(shù)公式：
sin(&alpha+&beta)=sin&alphacos&beta+cos&alphasin&beta
sin(&alpha-&beta)=sin&alphacos&beta-cos&alphasin&beta
cos(&alpha+&beta)=cos&alphacos&beta-sin&alphasin&beta
cos(&alpha-&beta)=cos&alphacos&beta+sin&alphasin&beta
tan(&alpha+&beta)=(tan&alpha+tan&beta)/(1-tan&alphatan&beta)
tan(&alpha-&beta)=(tan&alpha-tan&beta)/(1+tan&alpha·tan&beta)
2、二倍角公式：
二倍角的正弦、余弦和正切公式(升冪縮角公式)
sin2&alpha=2sin&alphacos&alpha
cos2&alpha=cos^2(&alpha)-sin^2(&alpha)=2cos^2(&alpha)-1=1-2sin^2(&alpha)
tan2&alpha=2tan&alpha/[1-tan^2(&alpha)]
3、半角公式：
半角的正弦、余弦和正切公式(降冪擴(kuò)角公式)
sin^2(&alpha/2)=(1-cos&alpha)/2
cos^2(&alpha/2)=(1+cos&alpha)/2
tan^2(&alpha/2)=(1-cos&alpha)/(1+cos&alpha)
另也有tan(&alpha/2)=(1-cos&alpha)/sin&alpha=sin&alpha/(1+cos&alpha)
4、萬(wàn)能公式：
sin&alpha=2tan(&alpha/2)/[1+tan^2(&alpha/2)]
cos&alpha=[1-tan^2(&alpha/2)]/[1+tan^2(&alpha/2)]
tan&alpha=2tan(&alpha/2)/[1-tan^2(&alpha/2)]
萬(wàn)能公式推導(dǎo)：
附推導(dǎo)： sin2&alpha=2sin&alphacos&alpha=2sin&alphacos&alpha/(cos^2(&alpha)+sin^2(&alpha))......
(因?yàn)閏os^2(&alpha)+sin^2(&alpha)=1)
再把分式上下同除cos^2(&alpha)，可得sin2&alpha=2tan&alpha/(1+tan^2(&alpha))
然后用&alpha/2代替&alpha即可。
同理可推導(dǎo)余弦的萬(wàn)能公式。正切的萬(wàn)能公式可過(guò)正弦比余弦得到。
5、三倍角公式：
三倍角的正弦、余弦和正切公式：
sin3&alpha=3sin&alpha-4sin^3(&alpha)
cos3&alpha=4cos^3(&alpha)-3cos&alpha
tan3&alpha=[3tan&alpha-tan^3(&alpha)]/[1-3tan^2(&alpha)]
三倍角公式推導(dǎo)：
附推導(dǎo)：
tan3&alpha=sin3&alpha/cos3&alpha
=(sin2&alphacos&alpha+cos2&alphasin&alpha)/(cos2&alphacos&alpha-sin2&alphasin&alpha)
=(2sin&alphacos^2(&alpha)+cos^2(&alpha)sin&alpha-sin^3(&alpha))/(cos^3(&alpha)-cos&alphasin^2(&alpha)-2sin^2(&alpha)cos&alpha)
上下同除以cos^3(&alpha)，得：
tan3&alpha=(3tan&alpha-tan^3(&alpha))/(1-3tan^2(&alpha))
sin3&alpha=sin(2&alpha+&alpha)=sin2&alphacos&alpha+cos2&alphasin&alpha
=2sin&alphacos^2(&alpha)+(1-2sin^2(&alpha))sin&alpha
=2sin&alpha-2sin^3(&alpha)+sin&alpha-2sin^3(&alpha)
=3sin&alpha-4sin^3(&alpha)
cos3&alpha=cos(2&alpha+&alpha)=cos2&alphacos&alpha-sin2&alphasin&alpha
=(2cos^2(&alpha)-1)cos&alpha-2cos&alphasin^2(&alpha)
=2cos^3(&alpha)-cos&alpha+(2cos&alpha-2cos^3(&alpha))
=4cos^3(&alpha)-3cos&alpha
即
sin3&alpha=3sin&alpha-4sin^3(&alpha)
cos3&alpha=4cos^3(&alpha)-3cos&alpha
三倍角公式聯(lián)想記憶：
記憶方法：諧音、聯(lián)想
正弦三倍角：3元減4元3角(欠債了(被減成負(fù)數(shù))，所以要“掙錢”(音似“正弦”))
余弦三倍角：4元3角減3元(減完之后還有“余”)
Ps：注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。
另外的記憶方法：
正弦三倍角：山無(wú)司令(諧音為三無(wú)四立)三指的是"3倍"sin&alpha，無(wú)指的是減號(hào)，四指的是"4倍"，立指的是sin&alpha立方
余弦三倍角：司令無(wú)山與上同理
6、和差化積公式
三角函數(shù)的和差化積公式
sin&alpha+sin&beta=2sin[(&alpha+&beta)/2]·cos[(&alpha-&beta)/2]
sin&alpha-sin&beta=2cos[(&alpha+&beta)/2]·sin[(&alpha-&beta)/2]
cos&alpha+cos&beta=2cos[(&alpha+&beta)/2]·cos[(&alpha-&beta)/2]
cos&alpha-cos&beta=-2sin[(&alpha+&beta)/2]·sin[(&alpha-&beta)/2]
三角函數(shù)的積化和差公式：
sin&alpha·cos&beta=0.5[sin(&alpha+&beta)+sin(&alpha-&beta)]
cos&alpha·sin&beta=0.5[sin(&alpha+&beta)-sin(&alpha-&beta)]
cos&alpha·cos&beta=0.5[cos(&alpha+&beta)+cos(&alpha-&beta)]
sin&alpha·sin&beta=-0.5[cos(&alpha+&beta)-cos(&alpha-&beta)]
和差化積公式推導(dǎo)：
附推導(dǎo)：
首先，我們知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sin(a-b)=sinacosb-cosasinb
我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb
所以，sinacosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理，若把兩式相減，就得到cosasinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同樣的，我們還知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
所以，把兩式相加，我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb
所以我們就得到，cosacosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理，兩式相減我們就得到sinasinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
這樣，我們就得到了積化和差的四個(gè)公式：
sinacosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosasinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosacosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sinasinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
有了積化和差的四個(gè)公式以后，我們只需一個(gè)變形，就可以得到和差化積的四個(gè)公式。
我們把上述四個(gè)公式中的a+b設(shè)為x，a-b設(shè)為y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2
把a(bǔ)，b分別用x，y表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式：
sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)sin((x-y)/2)
來(lái)源：http://www.xuefu.com/article/6802.html
